بهره مرکب چیست؟

سود مرکب (یا بهره مرکب) سود وام یا سپرده ای است که بر اساس اصل اولیه و سود انباشته دوره های قبل محاسبه می شود.

بهره مرکب که تصور می‌شود از ایتالیا قرن هفدهم سرچشمه می‌گیرد. می‌توان به عنوان «بهره به سود» در نظر گرفت و باعث می‌شود مبلغی با نرخی سریع‌تر از بهره ساده که فقط بر اساس مبلغ اصلی محاسبه می‌شود، رشد کند.

نرخ بهره مرکب به فراوانی ترکیب بستگی دارد، به طوری که هر چه تعداد دوره های ترکیب بیشتر باشد، بهره مرکب بیشتر می شود.

 بنابراین، میزان سود مرکب تعلق گرفته بر 100 دلار مرکب با 10 درصد سالانه، کمتر از سود 100 دلاری مرکب با 5 درصد در شش ماهه سالانه در همان دوره زمانی خواهد بود.

از آنجایی که اثر بهره بر بهره می تواند بازده مثبت فزاینده ای را بر اساس مبلغ اصلی اولیه ایجاد کند، گاهی اوقات از ترکیب به عنوان “معجزه بهره مرکب” یاد می شود.

 

بهره مرکب چگونه کار می کند

بهره مرکب با ضرب مبلغ اصلی اولیه در  یک به اضافه نرخ بهره سالانه افزایش یافته به تعداد دوره های مرکب منهای یک محاسبه می شود.

سپس کل مبلغ اولیه وام از ارزش حاصل کم می شود.

فرمول محاسبه مقدار بهره مرکب به شرح زیر است:

• بهره مرکب = کل مبلغ اصل و سود در آینده (یا ارزش آتی) منهای  مبلغ اصلی فعلی (یا ارزش فعلی)

= [P (1 + i ) ⁿ ] – P

= P [(1 + i ) ⁿ – 1]

جایی که:

P = اصل

i = نرخ سود اسمی سالانه بر حسب درصد

n = تعداد دوره های ترکیب

یک وام سه ساله به مبلغ 10000 دلار با نرخ بهره 5 درصد بگیرید که سالانه ترکیب می شود. میزان سود چقدر خواهد بود؟ در این صورت خواهد بود:

10000 دلار [(1 + 0.05) ³ – 1] = 10000 دلار [1.157625 – 1] = 1576.25 دلار

 

چگونه بهره مرکب رشد می کند

از آنجایی که بهره مرکب شامل سود انباشته شده در دوره های قبلی است، با نرخی فزاینده رشد می کند.

در مثال بالا، اگرچه کل سود قابل پرداخت در دوره سه ساله این وام 1576.25 دلار است، اما میزان بهره برای هر سه سال یکسان نیست.

همانطور که با بهره ساده است. سود قابل پرداخت در پایان هر سال در جدول زیر نشان داده شده است.

بهره مرکب می تواند به طور قابل توجهی بازده سرمایه گذاری را در دراز مدت افزایش دهد.

در حالی که یک سپرده 100,000 دلاری که 5٪ سود سالانه دریافت می کند، 50,000 دلار سود کل در طول 10 سال به دست می آورد.

سود مرکب سالانه 5٪ روی 10,000 دلار به 62,889.46 دلار در مدت مشابه می رسد.

اگر دوره مرکب به جای آن در همان دوره 10 ساله به صورت ماهانه با بهره مرکب 5 درصد پرداخت می شد، سود کل به 64700.95 دلار افزایش می یافت.1

برنامه های بهره مرکب

سود را می توان در هر برنامه فرکانسی معین، از روزانه تا سالانه، ترکیب کرد.

جدول‌های فرکانس مرکب استانداردی وجود دارد که معمولاً برای ابزارهای مالی اعمال می‌شود.

برنامه ترکیبی رایج برای حساب های پس انداز در بانک ها روزانه است.

 برای گواهی سپرده (CD)، برنامه‌های فراوانی مرکب معمولی روزانه، ماهانه یا شش ماهه هستند.

برای حساب های بازار پول ، اغلب روزانه است.

 برای وام‌های رهنی مسکن، وام‌های سهام مسکن، وام‌های تجاری شخصی، یا حساب‌های کارت اعتباری، رایج‌ترین برنامه ترکیبی که اعمال می‌شود ماهانه است.

همچنین ممکن است تغییراتی در بازه زمانی وجود داشته باشد که در آن سود تعلق گرفته واقعاً به مانده موجود اعتبار داده می شود.

سود یک حساب ممکن است روزانه مرکب شود اما فقط به صورت ماهانه بستانکار می شود.

تنها زمانی که سود واقعاً بستانکار شود، یا به موجودی موجود اضافه شود، شروع به کسب سود اضافی در حساب می کند.

برخی از بانک ها نیز چیزی به نام سود مرکب پیوسته را ارائه می دهند که در هر لحظه ممکن، سود را به اصل سرمایه اضافه می کند.

 برای اهداف عملی، آنقدر بیشتر از سود مرکب روزانه تعلق نمی گیرد، مگر اینکه بخواهید در همان روز پول بگذارید و آن را خارج کنید.

ترکیب بیشتر سود برای سرمایه گذار یا اعتبار دهنده سودمند است. برای یک وام گیرنده، برعکس است.

دوره های ترکیبی

هنگام محاسبه بهره مرکب، تعداد دوره های ترکیب تفاوت قابل توجهی ایجاد می کند.

 قانون اساسی این است که هر چه تعداد دوره های ترکیب بیشتر باشد، مقدار بهره مرکب بیشتر است.

جدول زیر تفاوتی را نشان می دهد که تعداد دوره های ترکیبی می تواند برای یک وام 10000 دلاری با نرخ بهره سالانه 10 درصد در یک دوره 10 ساله ایجاد کند.

 

ملاحظات خاص

بهره مرکب ارتباط نزدیکی با ارزش زمانی پول و قانون 72 دارد که هر دو مفهوم مهم در سرمایه گذاری هستند.

در نظر گرفتن ارزش زمانی پول

درک ارزش زمانی پول و رشد تصاعدی ایجاد شده توسط ترکیب برای سرمایه گذارانی ضروری است که به دنبال بهینه سازی درآمد و تخصیص ثروت خود هستند.

فرمول بدست آوردن ارزش آتی (FV) و ارزش فعلی (PV) به شرح زیر است:

FV = PV (1 + i) ⁿ  و PV = FV / (1 + i) ⁿ

به عنوان مثال، ارزش آتی 10000 دلار به مدت سه سال سالانه 5٪ ترکیب می شود:

= 10000 دلار (1 + 0.05) ³

= 10000 دلار (1.157625)

= 11576.25 دلار

ارزش فعلی 11576.25 دلار با 5 درصد تخفیف برای سه سال:

= 11,576.25 دلار / (1 + 0.05) ³

= 11576.25 دلار / 1.157625

= 10000 دلار

متقابل 1.157625 که برابر با 0.8638376 است، عامل تخفیف در این نمونه است.

قانون 72 در نظر گرفتن

به اصطلاح قانون 72 زمان تقریبی را محاسبه می کند که طی آن یک سرمایه گذاری با نرخ بازده یا بهره معین “i” دو برابر می شود و با (72/i) داده می شود.

فقط می توان از آن برای ترکیب سالانه استفاده کرد.2

به عنوان مثال، سرمایه گذاری که دارای نرخ بازده سالانه 6 درصد است در 12 سال دو برابر می شود.

بنابراین یک سرمایه گذاری با نرخ بازده سالانه 8 درصد در 9 سال دو برابر خواهد شد.

 

نرخ رشد سالانه مرکب (CAGR)

نرخ رشد مرکب سالانه (CAGR) برای اکثر برنامه های مالی که نیاز به محاسبه نرخ رشد واحد در یک دوره زمانی دارند استفاده می شود.

فرض کنید سبد سرمایه گذاری شما از 10000 دلار به 16000 دلار در طول پنج سال افزایش یافته است.

CAGR چیست؟

در اصل، این بدان معناست که PV = -10000 دلار، FV = 16000 دلار و t = 5، بنابراین متغیر “i” باید محاسبه شود.

 با استفاده از یک ماشین حساب مالی یا اکسل می توان نشان داد که i = 9.86٪ است.

برنامه های کاربردی زندگی واقعی CAGR

CAGR به طور گسترده برای محاسبه بازده در بازه های زمانی سهام، صندوق های سرمایه گذاری مشترک و پرتفوی سرمایه گذاری استفاده می شود.

 CAGR همچنین برای تعیین اینکه آیا یک مدیر صندوق سرمایه گذاری مشترک یا مدیر پورتفولیو از نرخ بازده بازار در یک دوره زمانی فراتر رفته است یا خیر استفاده می شود.

به عنوان مثال، اگر یک شاخص بازار بازده کل 10 درصد را در یک دوره پنج ساله ارائه کرده باشد.

 

اما یک مدیر صندوق تنها بازده سالانه 9 درصد را در مدت مشابه ایجاد کرده باشد، مدیر عملکرد ضعیفی در بازار داشته است.

CAGR همچنین می تواند برای محاسبه نرخ رشد مورد انتظار پرتفوی سرمایه گذاری در دوره های زمانی طولانی استفاده شود .

که برای اهدافی مانند پس انداز برای بازنشستگی مفید است.

 به مثال های زیر توجه کنید:

مثال 1:  یک سرمایه گذار ریسک گریز از بازده متوسط ​​3 درصدی سالانه پرتفوی خود راضی است.

 بنابراین، پورتفولیوی 100000 دلاری او پس از 20 سال به 180611 دلار خواهد رسید.

در مقابل، یک سرمایه‌گذار متحمل ریسک که انتظار دارد بازدهی سالانه 6% در پرتفوی خود داشته باشد.

پس از 20 سال شاهد رشد 100000 دلاری به 320714 دلار خواهد بود.

مثال 2:  از CAGR می توان برای تخمین مقداری که برای پس انداز برای یک هدف خاص باید ذخیره شود استفاده کرد.

 زن و شوهری که مایلند در طول 10 سال 50000 دلار پس انداز کنند تا در صورت پیش‌پرداخت کاندو، 4165 دلار در سال پس‌انداز کنند.

اگر بازده سالانه (CAGR) 4 درصد از پس‌انداز خود را در نظر بگیرند.

اگر آنها آماده اند کمی ریسک بیشتری بپذیرند و انتظار CAGR 5٪ را داشته باشند.

باید سالانه 3975 دلار پس انداز کنند.

مثال 3:  CAGR همچنین می تواند مزیت های سرمایه گذاری را زودتر از دیرتر در زندگی نشان دهد.

 اگر هدف صرفه جویی 1 میلیون دلاری با بازنشستگی در سن 65 سالگی است.

بر اساس CAGR 6٪، یک فرد 25 ساله برای رسیدن به این هدف باید سالانه 6462 دلار پس انداز کند.

 از طرف دیگر، یک فرد 40 ساله برای رسیدن به همان هدف باید 18227 دلار یا تقریباً سه برابر آن پس انداز کند.

 

مزایا و معایب ترکیب

اگرچه معجزه ترکیب کردن منجر به داستان غیرمعمول آلبرت انیشتین شده است که آن را هشتمین عجایب جهان یا بزرگترین اختراع بشر می‌نامد.

ترکیب کردن می‌تواند علیه مصرف‌کنندگانی که وام‌هایی با نرخ‌های بهره بسیار بالا دارند، مانند بدهی کارت اعتباری، کارساز باشد.

موجودی کارت اعتباری 20000 دلار با نرخ بهره 20 درصد مرکب ماهانه، منجر به سود مرکب کل 4388 دلار در طول یک سال یا حدود 365 دلار در ماه می شود.

از جنبه مثبت، ترکیب کردن می تواند به نفع شما در هنگام سرمایه گذاری باشد .و می تواند عاملی قوی در ایجاد ثروت باشد.

رشد تصاعدی ناشی از بهره مرکب نیز در کاهش عوامل فرساینده ثروت مانند افزایش هزینه زندگی، تورم و کاهش قدرت خرید مهم است.

صندوق‌های سرمایه‌گذاری مشترک یکی از ساده‌ترین راه‌ها را برای سرمایه‌گذاران ارائه می‌دهند تا از مزایای بهره مرکب بهره ببرند .

 انتخاب مجدد سرمایه گذاری سود حاصل از صندوق سرمایه گذاری مشترک منجر به خرید سهام بیشتر صندوق می شود.

بهره مرکب بیشتری در طول زمان انباشته می شود و چرخه خرید سهام بیشتر به افزایش ارزش سرمایه گذاری در صندوق کمک می کند.

سرمایه گذاری در صندوق سرمایه گذاری مشترک با 5000 دلار اولیه و اضافه سالانه 2400 دلار را در نظر بگیرید.

با متوسط ​​بازده سالانه 12 درصد در 30 سال، ارزش آتی صندوق 798500 دلار است.

بهره مرکب تفاوت بین وجه نقد کمک به سرمایه گذاری و ارزش واقعی آتی سرمایه گذاری است.

در این مورد، با مشارکت 77000 دلاری، یا مشارکت انباشته فقط 200 دلار در ماه، طی 30 سال، بهره مرکب 721500 دلار از موجودی آتی است.

البته، درآمد حاصل از بهره مرکب مشمول مالیات است. مگر اینکه پول در یک حساب محافظت شده مالیاتی باشد .

معمولاً با نرخ استاندارد مرتبط با براکت مالیاتی مالیات دهندگان مالیات می شود.

 

سرمایه گذاری با بهره مرکب

سرمایه‌گذاری که یک طرح سرمایه‌گذاری مجدد سود سهام (DRIP) را در یک حساب کارگزاری انتخاب می‌کند.

اساساً از قدرت ترکیب در هر چیزی که سرمایه‌گذاری می‌کند استفاده می‌کند.

سرمایه گذاران همچنین می توانند با خرید اوراق قرضه کوپن صفر، بهره مرکب را تجربه کنند .

اوراق قرضه سنتی بر اساس شرایط اصلی انتشار اوراق، سود دوره‌ای را برای سرمایه‌گذاران فراهم می‌کند و چون این سود به صورت چک به سرمایه‌گذار پرداخت می‌شود.

بهره ترکیب نمی‌شود. اوراق قرضه کوپن صفر برای سرمایه گذاران چک سود ارسال نمی کند.

در عوض، این نوع اوراق با تخفیف به ارزش اصلی خود خریداری می شود و در طول زمان رشد می کند.

ناشران اوراق قرضه کوپن صفر از قدرت ترکیب برای افزایش ارزش اوراق استفاده می کنند تا در سررسید به قیمت کامل آن برسد.

هنگام بازپرداخت وام، ترکیب کردن نیز می تواند برای شما مفید باشد.

 برای مثال، پرداخت نیمی از وام مسکن، دو بار در ماه، به جای پرداخت کامل یک بار در ماه، باعث کاهش دوره استهلاک شما و صرفه جویی قابل توجهی در سود شما می شود.

 

نحوه محاسبه سود مرکب

اگر مدتی از روزهای کلاس ریاضی شما گذشته است، نترسید. ابزارهای مفیدی برای کشف ترکیب وجود دارد.

بسیاری از ماشین حساب ها (هم دستی و هم مبتنی بر کامپیوتر) دارای توابع توان هستند. که می توانید برای این اهداف از آنها استفاده کنید.

محاسبه بهره مرکب در اکسل

اگر کارهای ترکیبی پیچیده تری پیش آمد، می توانید آنها را در مایکروسافت اکسل به سه روش مختلف انجام دهید.

1. اولین راه برای محاسبه سود مرکب ضرب تراز جدید هر سال در نرخ بهره است.
2. فرض کنید 1000 دلار به یک حساب پس انداز با نرخ بهره 5 درصد که سالانه ترکیب می شود، واریز می کنید.
3. و می خواهید موجودی را در پنج سال محاسبه کنید.
4. در مایکروسافت اکسل، “Year” را در سلول A1 و “Balance” را در سلول B1 وارد کنید.
5. سال های 0 تا 5 را در سلول های A2 تا A7 وارد کنید. موجودی سال 0 1000 دلار است.
6. بنابراین شما باید “1000” را در سلول B2 وارد کنید. سپس “=B2*1.05” را در سلول B3 وارد کنید.
7. سپس “=B3*1.05” را در سلول B4 وارد کنید و این کار را تا رسیدن به سلول B7 ادامه دهید.
8. در سلول B7، محاسبه “=B6*1.05” است.
9. در نهایت، مقدار محاسبه شده در سلول B7 – 1276.28 دلار – موجودی حساب پس انداز شما پس از پنج سال است.
10. برای یافتن ارزش بهره مرکب، 1000 دلار را از 1276.28 دلار کم کنید.
11. روش دوم برای محاسبه بهره مرکب استفاده از فرمول ثابت است.
12. فرمول بهره مرکب ((P*(1+i)^n) – P است، که در آن P اصل، i نرخ بهره سالانه و n تعداد دوره‌ها است.
13. با استفاده از همان اطلاعات بالا، “مقدار اصلی” را در سلول A1 و 1000 را در سلول B1 وارد کنید.
14.  سپس، “نرخ بهره” را در سلول A2 و “0.05” را در سلول B2 وارد کنید.
15. «دوره‌های مرکب» را در سلول A3 و «5» را در سلول B3 وارد کنید.
16. اکنون می توانید با وارد کردن “=(B1*(1+B2)^B3)-B1، سود مرکب در سلول B4 را محاسبه کنید، که به شما 276.28 دلار می دهد.
17. راه سوم برای محاسبه بهره مرکب، ایجاد یک تابع کلان است.
18. ابتدا Visual Basic Editor را که در تب developer قرار دارد راه اندازی کنید.
19.  روی منوی Insert کلیک کنید و روی Module کلیک کنید.
20.  سپس “Function Compound_Interest (P As Double, I As Double, N As Double) As Double” را در خط اول تایپ کنید.
21. در خط دوم، کلید تب را بزنید و عبارت “Compound_Interest = (P*(1+i)^n) – P را تایپ کنید.
22.  در خط سوم ماژول، “End Function” را وارد کنید. شما یک تابع ماکرو برای محاسبه نرخ بهره مرکب ایجاد کرده اید.
23. در ادامه از همان کاربرگ اکسل بالا، “Compound interest” را در سلول A6 وارد کنید و “=Compound_Interest(B1, B2, B3) را وارد کنید.
24. این مقدار به شما 276.28 دلار می دهد که با دو مقدار اول مطابقت دارد.

سایر ماشین حساب های بهره مرکب

تعدادی از ماشین حساب های بهره مرکب رایگان به صورت آنلاین ارائه می شود و بسیاری از ماشین حساب های دستی نیز می توانند این کارها را انجام دهند.

• ماشین حساب بهره مرکب رایگان ارائه شده از طریق Financial-Calculators.com ساده است.
• و به انتخاب فرکانس مرکب از روزانه تا سالانه ارائه می دهد.
•  این شامل گزینه ای برای انتخاب ترکیب پیوسته است و همچنین اجازه می دهد تا تاریخ های شروع و پایان واقعی تقویم را وارد کنید.
•  پس از وارد کردن داده‌های محاسباتی لازم، نتایج سود کسب شده. ارزش آتی، بازده درصدی سالانه یا APY) ( معیاری که شامل ترکیب‌سازی است ) و بهره روزانه را نشان می‌دهد.3
• Investor.gov ، وب‌سایتی که توسط کمیسیون بورس و اوراق بهادار ایالات متحده (SEC) اداره می‌شود.
• یک ماشین‌حساب بهره مرکب آنلاین رایگان ارائه می‌دهد . ماشین حساب نسبتاً ساده است.
• اما اجازه می دهد تا سپرده های ماهانه اضافی را به اصل سرمایه وارد کند.
• که برای محاسبه درآمد در جایی که پس انداز ماهانه اضافی سپرده می شود، مفید است.4
• یک ماشین حساب آنلاین رایگان با چند ویژگی دیگر در TheCalculatorSite.com موجود است .
•  این ماشین حساب امکان محاسبات برای ارزهای مختلف، امکان فاکتور در سپرده ها یا برداشت های ماهانه و گزینه افزایش تعدیل تورم به سپرده های ماهانه یا برداشت ها را نیز به صورت خودکار محاسبه می کند.1